Es fácil perderse con las diferentes reglas de cálculo al utilizarlas. En esta confusión no faltan las reglas de cálculo de las competencias. Sin embargo, son una de las bases de los cálculos de álgebra y deben utilizarse automáticamente. Pero, ¿cuáles son las reglas de cálculo para conocer las potencias? Antes de hacerlo, es imprescindible saber qué es una potencia, cuándo y cómo utilizarla...
La definición de un poder
Una potencia se define como el número de veces que un número se multiplica por sí mismo, es decir, el valor de la potencia corresponde al número de veces que se escribe un dígito o número o al número de signos de multiplicación más uno. Por ejemplo, 24 = 2 x 2 x 2 x 2, podemos ver que el número 2 se escribe 4 veces por lo que el valor de la potencia es 4, el signo de multiplicación se escribe 3 veces y sumamos más uno y obtenemos el valor de la potencia que es 4. Del mismo modo, 2 x 2 x... x 2 (n veces) se escribe 2n y tiene (n-1) signo de multiplicación. Hay que distinguir la potencia de la multiplicación que se puede hacer entre números diferentes.
Es posible escribir una potencia de diferentes maneras, la más utilizada es el exponente. El valor de la potencia se escribe en la parte superior derecha del número que la lleva, es de la forma: q^k con q cualquier número y k un entero, k es un exponente (ej: 3^7). A veces, utilizamos q^k para representarlo, especialmente en las calculadoras (por ejemplo: 5^6). Y para las potencias de 10, algunas calculadoras muestran "3E+4" o "3e+4", que corresponde a 3×10^4.
q^k puede leerse como q potencia k o q exponente k.
Para las potencias de 2, también se puede decir "al cuadrado", por lo que q² se lee como q al cuadrado. Del mismo modo, para las potencias de 3, utilizamos "cubo", por lo que q³ es q cubo. Para más información: www.accromaths.fr
Los diferentes exponentes de las potencias
- Potencia con exponente positivo
Un exponente positivo es un número natural no nulo, es decir, mayor que cero. Así que una potencia con exponente positivo es cualquier número entero con exponente positivo. Por ejemplo, 7² o 4³, etc. Obsérvese que cualquier número con una potencia igual a uno es igual al propio número y 1 con un exponente positivo es siempre igual a 1 (q^1 = q y 1^n = 1).
- Potencia de exponente cero
Aquí el valor de la potencia es cero. Se han adoptado convenciones para facilitar los cálculos con potencias nulas. Se adopta que cualquier dígito de potencia cero es igual a uno, por ejemplo 9^0= 1 y q^0 = 1: es la convención del producto vacío. La otra convención es que 0^0 = 1, que puede utilizarse para identificar un polinomio en un entorno más abstracto.
- Potencia con exponente negativo
El exponente k aquí es negativo por lo que la potencia es de la forma q^-k. Una potencia negativa equivale a la inversa de la potencia positiva, es decir, q^-k = 1/q^k. Por ejemplo, 9^(-3) = 1/9^3 o 1/4^6 = 4^(-6). Así que puedes obtener una potencia positiva a partir de una potencia negativa invirtiendo la fracción. Si k=1, q^(-1) = 1/q.
El caso especial de las potencias de 10
Las potencias de 10 se utilizan para escribir números grandes, pequeños y decimales. Por lo tanto, se utilizan potencias de 10 para abreviar la escritura de estos números. En general, se basan en escrituras de números que son múltiplos de 10 y el número de ceros escritos corresponde al valor de la potencia. Por ejemplo, 100 = 10^2 y 100000 = 10^5, podemos observar que en 100 hay dos ceros y en 100000 hay cinco ceros de ahí el valor de los exponentes. Sin embargo, es posible utilizar potencias de 10 para números que no son múltiplos de 10 utilizando el mismo principio, multiplicar el resto de la división con 10 por una potencia de 10. Por ejemplo, 53000 = 53 x 1000 = 53 x 10^3 o 24200 = 242 x 10^2. Para los números pequeños entre 0 y 1, es más fácil escribirlos con potencias de 10 multiplicando el primer número que no sea 1 por una potencia de 10. La potencia aquí tiene un exponente negativo. Por ejemplo, 0,000027 = 27 x 10^(-5) y 0,0001 = 10^(-4). En el caso de los números decimales, desplazamos el punto decimal a la última cifra distinta de cero. Por ejemplo, 2,24 = 2 x 10^(-2) o 7,5487454 = 75487454 x 10^(-7). Las potencias de 10 son, por tanto, de la forma q x 10^k.
Las reglas de cálculo de las potencias
. a^x x a^y = a^(x+y)
Ej: 2^3 x 2^5 = 2^8
. a^x / a^y = a^(x-y)
Ej: 2^5 / 2^3 = 2^2
. (a^x)^y = a^xy
Ej: (2^3)^4 = 2^12
. (a x b)^x = a^x x b^x
Ej: (3 x 7)^9 = 3^9 x 7^9
. (a / b)^x = a^x / b^x
Ej: (4 / 9)^6 = 4^6 / 9^6